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Nimm an, wir würden auf unserer Erde nach wie vor $\pq{9.81}{\mpsq}$ Fallbeschleunigung messen, ihren Radius weiterhin zu $\pq{6370}{km}$ bestimmen, und ein Tag hätte nach wie vor $\pq{24}{h}$ -- aber das Gravitationsgesetz wäre nicht proportional zu $\frac{1}{r^2}$, sondern \begin{align*} F_{\text{\scriptsize G}} = G \cdot \frac{Mm}{r}, \end{align*} wobei $G$ weiterhin die bekannte Gravitationskonstante sei. \begin{abcliste} \abc Welche Masse würden wir für die Erde errechnen?\\ %{\scriptsize (Falls du diese Teilaufgabe nicht lösen kannst, verwende für die Masse der Erde den Wert aus dem Formelbuch.)} \abc In welchem Abstand zur Erdoberfläche würde ein geostationärer Satellit kreisen?\\ {\scriptsize (Falls du diese Teilaufgabe nicht lösen kannst, verwende für den Abstand $\pq{4.00e7}{m}$.) } \abc Welche Energie müsste aufgewendet werden, um den Satelliten ($\pq{5.40}{t}$) mit der richtigen Geschwindigkeit in seine Umlaufbahn zu bringen? \end{abcliste}
(a) $\pq{9.37e17}{kg}$ \quad (b) $\pq{1.087e8}{m}$ \quad (c) $\pq{9.573e11}{J}$
\begin{abcliste} \abc Die Masse der Erde erhalten wir aus der Fallbeschleunigung $g=\pq{9.81}{\mpsq}$: \begin{align} g &= \frac{GM}{r}\\ M &= \frac{g}{G}r\\ &= \pq{9.37e17}{kg}. \end{align} \abc Ein geostationärer Satellit hätte ebenfalls eine Umlaufzeit von $\pq{24}{h}$. Um ihn auf einer Kreisbahn mit dieser Umlaufzeit zu halten, ist die Zentripetalkraft $F=mr\omega^2$ notwenig. Sie wird physikalisch durch die Gravitation hervorgerufen: \begin{align} F_{\text{\scriptsize Z}} &= F_{\text{\scriptsize G}}\\ mr\omega^2 &= G \frac{Mm}{R}\\ R &= \sqrt{G \frac{M}{\omega^2}}\\ &= \pq{1.087e8}{m} \end{align} Zur Erdoberfläche hätte der Satellit den Abstand $\pq{1.087e8}{m}-\pq{6.37e6}{m}=\pq{1.023e8}{m}$. \abc Der Satellit hat auf seiner Umlaufbahn die kinetische Energie \begin{align} \Ekin &= \frac12 mv^2\\ &= \frac12 m R^2\omega^2\\ &= \frac12 \cdot \pq{5400}{kg}\cdot (\pq{1.087e8}{m})^2 \cdot \left(\frac{2\pi}{24\cdot\pq{3600}{s}}\right)^2\\ &= \pq{1.687e11}{J}. \end{align} Um ihn auf diese Umlaufbahn zu bringen ist ausserdem die Arbeit \begin{align} W &= \int_{r'}^R G \cdot \frac{Mm}{r} \, \mbox{d}r\\ &= GMm \cdot \left[\ln(r)\right]_{r'}^R\\ &= GMm \cdot (\ln(R)-\ln(r'))\\ &= \pq{9.573e11}{J}. \end{align} Zusammen sind das $\pq{1.126e12}{J}$, bzw.$\pq{1.1}{TJ}$. \end{abcliste}
| 16:15, 16. Aug. 2019 | text | Urs Zellweger (urs) | Current Version |
